МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД. Журнал моделирование в механике

Моделирование и механика конструкций — Механика и механика конструкций

Уважаемые коллеги!

Добро пожаловать на сайт электронного научного журнала

"Моделирование и механика конструкций"

Электронный научный журнал «Моделирование и механика конструкций» основан в 2015 году. Журнал является рецензируемым и входит в базу данных РИНЦ (лицензионный договор №320-05/2015 от 20.05.2015), ISSN 2412-0243.

Учредитель журнала: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Пензенский государственный университет архитектуры и строительства".

Электронный научный журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (свидетельство ЭЛ № ФС 77 – 60481 от 30.12.2014г).

Строительная практика ожидает от ученых в области теории сооружений разработки и обоснования расчетных моделей, достаточно полно и однозначно соответствующих исследуемым объектам, процессам и явлениям – физическим моделям, приводящих теоретическое изучение инженерных проблем к достоверным результатам.

Электронный научный журнал публикует статьи, тематика которых относится к различным проблемам математического моделирования в технике и строительной практике, моделирования в механике, математического моделирования сложных систем, разработке и применению методов численного моделирования. Особый интерес для журнала представляют работы в области разработки моделей нелинейных динамических систем, создания моделей динамики дискретно-континуальных систем, разработка математических методов решения трудно формализуемых задач.

Особенно важно построение теорий и практические исследования процессов ползучести, усадки, температурных деформаций, динамических, циклических и сейсмических воздействий, в частности, моделирование реакций на интенсивные сейсмические воздействия с учетом нелинейных факторов, включая пластическое деформирование, накопление усталостных повреждений и деградацию жесткости несущих элементов в процессе колебаний.

В связи со строительством высотных зданий приобретают актуальность вопросы динамического расчета на действие порывов ветра, расчет  и конструирование фундаментов нового типа, виброизоляция зданий, расположенных вблизи автотрасс, линий метрополитена и других источников вибрации.

Важнейшие проблемы, решению которых должен способствовать журнал: обобщение новых достижений в области расчета сооружений для совершенствования нормативной базы проектирования конструкций из различных материалов.

В условиях увеличения количества природных и техногенных запроектных воздействий большое значение приобрела проблема безопасного функционирования строительных объектов.

Требуют дальнейшего совершенствования конструкции из железобетона, металлов, дерева, пластмасс и других, новых материалов.

mechanicspguas.ru

главная страница

15 июня начинает свою работу приёмная комиссия ПГУАС

Телефон для справок: 8 (8412)48-74-75, 8 (8412)49-49-52

Читать

Приглашаем принять участие!

Телефон: (8412) 49-49-52

e-mail: [email protected]

Читать

ПГУАС приглашает школьников на научно-ознакомительные экскурсии

Читать

Учиться и, когда придет время, прикладывать усвоенное к делу - разве это не прекрасно ! Конфуций

Тот, кто склонен противоречить и много болтать, не способен изучить то, что нужно Демокрит

Кто ни о чём не спрашивает, тот ничему не научится Томас Фуллер

Надо много учиться, что бы знать хоть немного Шарль Луи Монтескье

Курсы для школьников

"Архитектурно-строительная физика" Запись по телефону: 49-49-52; 49-74-75

Черчение для школьников

Приглашаем учащихся пройти курс по основам инженерной и компьютерной графики Запись по телефону: 49-49-52; 49-74-75

СУПЕРМЯЧФедеральный социальный благотворительный проект

Читать

mechanics.pguas.ru

Наука и Образование: научно-техническое издание: Моделирование механических связей изделия

автор: Божко А. Н.

МГТУ им. Н. Э. Баумана

В классической механике под механическими связями принято понимать ограничения, которые накладываются на координаты и скорости механической системы. Математическим описанием таких связей служат системы равенств и неравенств, связывающие скорости, пространственные координаты элементов системы и время. В теоретических исследованиях по технологии машиностроения, где акценты смещены с динамических характеристик системы на ее статическое состояние, этому понятию дается более узкое толкование. Под механическими связями понимают совокупность соединений и сопряжений деталей, которые доставляют машине или механическому прибору геометрическую и функциональную тождественность.

Геометрическая тождественность – это пространственная взаимосвязь деталей, задаваемая конструкторской документацией и достигаемая взаимной координацией деталей. В данной работе рассматривается только это свойство механических систем. Процессы координации деталей и сборочных единиц при обработке, сборке и транспортировке исследуются в разделе технологии машиностроения, который называется теорией базирования [7].

Ограничимся обсуждением механических систем (машин, приборов, аппаратов, установок и пр.), элементы которых могут рассматриваться как твердые тела. Из теоретической механики известно, что любое свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Оно может перемещаться параллельно трех координатных осей и вращаться вокруг них. Для того чтобы зафиксировать твердое тело, на него необходимо наложить шесть геометрических связей. В технологии машиностроения эти связи называются опорными точками. Для размещения опорных точек требуется выбрать три поверхности детали или заменяющих их совокупности конструктивных элементов (пересечение поверхностей, оси или плоскости симметрии, технологическая разметка и пр.). Поверхность или иной конструктивный элемент, используемый для размещения опорных точек в процессе базирования, называется базой. В технологических исследованиях предложена развитая классификация баз [6], в данной работе будем рассматривать только базы, которые используются для координации деталей и сборочных единиц в составе изделия. Такие базы называются конструкторскими. Главной и высшей таксономией конструкторских баз является их разделение на основные и вспомогательные. Основные принадлежат элементу механической системы (детали или сборочной единице) и служат для определения его положения в составе изделия. Вспомогательные базы – это базы, предназначенные для определения положения присоединяемых элементов (деталей и сборочных единиц).

Таким образом, конструкторские базы представляют собой конструктивно реализованные координатные системы, предназначенные для ориентации и координации деталей в процессе сборки изделия. С точки зрения взаимной скоординированности составляющих элементов, изделие в целом можно рассматривать как совокупность деталей, связанных отношением базирования.

Отношение базирования влияет на важнейшие конструктивные и технологические свойства изделий. Например, от него зависят допустимые варианты декомпозиции на сборочные единицы. Это отношение определяет многие проектные решения, принимаемые на этапе разработки технологии сборки и ремонта машины или механического прибора. В многочисленных исследованиях отечественных и зарубежных авторов [8, 9] отношение базирования рассматривалось как бинарное, а для его описания использовался аппарат теории графов и математической логики. Подобная формализация оказалась недостаточной, поскольку, во многих случаях, это отношение имеет переменную местность. В данной работе предлагается новый способ описания базирования при помощи так называемых гиперсетей.

Обозначим через  множество деталей изделия, а через B – отношение базирования, заданное на этом множестве. Пусть элементы подмножества

являются носителями вспомогательных конструкторских баз для некоторого элемента . Запишем это утверждение в виде . Это означает, что положение собственной системы координат  задается в системе координат (СК), внешней относительно , и элементы этой СК принадлежат . Так как положение каждой детали в пределах изделий определено, то  существует, возможно, не единственное подмножество такое, что . Каждая связана с по крайней мере одной координатой, поэтому максимальная длина любого вектора не превосходит 7. Количество деталей в , распределение координатных связей по элементам и общее число опорных точек детали зависят от конструкции изделия, принятых способов базирования и назначения самой детали .

Все векторы вида  обладают свойством перестановочности. Это значит, что если некоторый вектор  принадлежит B, то вектор, образованный из  перестановкой его элементов , также принадлежит B для любой подстановки  порядка k+1, действующей на множестве

. Это следует из того, что элементы  образуют геометрически определенную группировку деталей, поскольку положение любой  в системе координат, образованной деталями , также является определенным.

Алгебраически и комбинаторные свойства объектов, для которых понятие системы координат является осмысленным, изучаются в теории матроидов. Свойство, аналогичное перестановочности векторов , постулируется в теории матроидов как присущее любым координатизуемым системам и называется аксиомой замены Штейница [1]. Из перестановочности векторов  следует один очень важный для технологии сборки вывод – разделение баз на основные и вспомогательные не является жестким и однозначным, оно зависит от принятой последовательности установки деталей. Поскольку порядок перечисления элементов не имеет значения, то будем записывать их в нотации множеств  и называть B-множествами.

Взаимная скоординированность элементов B-множеств достигается реализацией механических связей, поэтому необходимо предложить математическую модель, которая описывает соединения и сопряжения, существенные для отношения базирования. В [2] показано, что такой моделью может быть представление связей в виде гиперсети.

Гиперсетью называется вектор вида , где

 — множество вершин;

 — множество ветвей;

— множество ребер;

P — отображения вида , ставящее в соответствие каждому элементу  множество его вершин . Тем самым P определяет гиперграф  на множестве вершин X;

F — отображение вида , сопоставляющее каждому элементу  множество  ветвей, причем семейство подмножеств  содержит только связные части гиперграфа PS. Отображение F определяет гиперграф ;

W — отображение вида, сопоставляющее каждому элементу  подмножество  его вершин, где  — множество вершин в PS, инцидентных ветвям . Тем самым отображение W определяет гиперграф . Гиперграф PS называется первичной сетью гиперсети S, а гиперграф WS – ее вторичной сетью.

Изделию X сопоставим гиперсеть , в которой:

вершины из  представляют детали;

множество ветвей  описывает механические связи, наложенные на детали;

каждое ребро  соответствует B-множеству деталей.

Отображение  сопоставляет каждой ветви пару деталей, между которыми существует в изделии X механическая связь (соединение или сопряжение), . Таким образом, первичная сеть  представляет собой граф механических связей. Вторичная сеть  гиперсети S связывает детали изделия таким образом, что отображение W каждому ребру  ставит в соответствие B-множество деталей. Поскольку в общем случае , то вторичная сеть гиперсети S представляет собой гиперграф. Так как взаимная скоординированность деталей достигается наложением механических связей, то образами произвольных B-множеств являются связные подграфы первичной сети PS, т.е. условие связности элементов, составляющих семейство , выполняется.

Рис. 1. Чертеж конструкции редуктора

На рис. 1 приведен чертеж конструкции редуктора, а на рис.2 изображена сопоставленная этому изделию гиперсеть. Напомним, что по правилам построения гиперсети деталям конструкции соответствуют вершины. На приведенных рисунках они обозначены одинаковыми номерами. Первичную сеть PS образуют все ребра, которые на рис.2 изображены прямыми линиями. Гиперребра вторичной сети изображены сплошными замкнутыми линиями (например, {11, 16, 21}) и жирными линиями. Таким образом, последние обозначают связи, которые входят как в первичную, так и во вторичную сети. Это дублирование необходимо, поскольку точное изображение всех связей чрезмерно усложнит рисунок и затруднит его восприятие.

Рис. 2. Гиперсеть редуктора

Первичная сеть PS по сути дела представляет собой граф механических связей, свойства которого подробно обсуждались в многочисленных исследованиях по теории проектирования [3,7]. Эта структурная модель не дает точного описания отношения базирования B, поскольку она не способна выделить многоместные группировки детали, являющиеся B-множествами. Кроме того, некоторые механические связи не используются для достижения определенности базирования, а выполняют иные функции (устойчивость, кинематические связи и пр.). Адекватной структурной моделью отношения базирования является вторичная сеть WS.

Не рассматривая многочисленные конструктивные и технологические закономерности принятия решений при выборе схем базирования, будем считать, что такой выбор осуществлен, а его результаты зафиксированы в структуре вторичной сети WS.

Приведем несколько определений из теории гиперграфов [4], которые будут использованы для математического описания таких важных технологических категорий, как последовательность сборки и схема технологического членения (схема разузлования). В этих определениях вторичная сеть рассматривается как просто пример гиперграфа, лишенного фиксированного технологического содержания.

Определение 1:

Подграф  гиперграфа  называется полновершинным суграфом, если . Иными словами,  получается из WS удалением ребер, входящих . Такое удаление называется слабым. Подграф  называется усеченным суграфом гиперграфа , если , где . Удаление ребер вместе с инцидентными вершинами называется сильным.

Определение 2:

Стягиванием ребра  в гиперграфе  называется операция, состоящая из слабого удаления этого ребра и, в случае , последующей замены всех вершин  новой вершиной, инцидентной каждому ребру из , которые в WS были инцидентны, по крайней мере, одной вершине множества . Более формально: если  — гиперграф, полученный из WS стягиванием ребра r, то

Стягивание ребра может повлечь за собой частичное или полное отождествление вершин во множествах  для других ребер  (но сами эти ребра не удаляются). Подобные отождествления допускаются лишь как индуцированные стягиванием ребра r, а не в качестве самостоятельных операций.

Определение 3:

Стягивание ребра будем называть нормальным, если степень  стягиваемого ребра  в гиперграфе  равна 2.

Определение 4:

Все вершины исходного гиперграфа  назовем s-вершинами. Кроме того, вершина , образованная отождествлением двух s-вершин, соединенных ребром кратности 2, называется s-вершиной.

В процессе сборки изделия происходит реализация механических связей, соединяющих устанавливаемую деталь (сборочную единицу) с «собранным фрагментом изделия» и доставляющих данному элементу определенность геометрического положения относительно системы координат этого фрагмента. Абстрагируясь от конкретных технологических приемов получения соединений и сопряжений, представим реализацию каждой механической связи в виде слабого удаления соответствующего ребра вторичной сети WS. Во всех дальнейших операциях установленные элементы выступают как некоторая «целостность». Это позволяет представить их в виде некоторой s-вершины сети WS, образованной отождествлением всех вершин, инцидентным стянутым гиперребрам.

Итак, процесс сборки изделия  можно представить в виде последовательности стягиваний

 вторичной сети , причем для  должны выполняться условия:

1.      ;

2.       представляет собой одновершинный гиперграф, описывающий изделие в сборе;

3.      Каждое стягивание ребра является нормальным;

4.      Для всех  выполняется соотношение .

Рассмотрим более подробно адекватность условия 3, поскольку обоснованность условий 1 и 3 является очевидной, а 4 с необходимостью следует из изложенного материала. Для установки некоторой детали  необходимо, чтобы все детали из какой-либо совокупности , образующей с  B-множество, были скоординированы относительно друг друга. В этом случае они образуют внешнюю систему координат, определяющую положение . По определению гиперсети В-множествам деталей соответствуют ребра вторичной сети WS, а скоординированность деталей из  означает, что все механические связи, наложенные на элементы из , реализованы. Иными словами, осуществлены операции слабого удаления ребер, описывающих эти связи, и отождествление вершин. Поэтому совокупности  соответствует одна вершина в некотором . Таким образом, ребро r, соединяющее в   и  имеет степень 2, а установка  на  описывается нормальным стягиванием.

На рис. 3 показана вторичная сеть WS редуктора (см. рис.1), а на рис. 4 представлен фрагмент последовательности P(WS) нормальных стягиваний этой гиперсети.

Рис. 3. Вторичная сеть WS редуктора

Рис. 4. Фрагмент последовательности нормальных стягиваний вторичной сети редуктора

На рис. 4 черными квадратами изображены составные вершины. Это вершины, состоящие из нескольких простых вершин, которые продуцирует процедура стягиваний вторичной сети. Так, гиперграф  получается из вторичной сети  нормальным стягиванием по ребрам {9,10}, {9,19}, {11,12} и {11,12,15}. Нормальные стягивания ребер гиперграфа  {2,5}, {2,4}, {4,6}, {6,7}, {8,{9,10,19}}, {{9,10,19},20}, {18,20}, {9,10,19} и {17,20} дает гиперграф  и т.д. до реализации всех связей и генерации одновершинного гиперграфа.

Это первая статья цикла работ, посвященного моделированию механических связей при помощи гиперграфов. Автор надеется опубликовать продолжение исследований в следующих номерах данного электронного издания.

 

Список литературы

 

1.      Айгнер М. Комбинаторная теория. – М.: Мир, 1982. – 558 с.

2.      Божко А.Н. Выбор рациональной последовательности сборки изделия// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» – 2010. – ╧7

3.      Божко А. Н., Бетин Е. А. Анализ стягиваемости гиперграфов// Информационные технологии. – 2005. – ╧5 – с. 6-12.

4.      Зыков А.А. Гиперграфы// УМН. – 1974. – т. XXIX, вып. 6. – с. 89-153.

5.      Исследования по прикладной теории графов/ Под ред. А.С. Алексеева. – Новосибирск: Наука, 1986. – 169с.

6.      Маталин А.А. Технология машиностроения. – М.: Машиностроение, 1985. – 512 с.

7.      Сборка и монтаж изделий машиностроения: справочник в 2-х томах / Под ред. В.С. Корсакова, В.К. Замятина. – М.: Машиностроение, 1983. – 480+360 с.

8.      Своятыцкий Д.А. Моделирование процессов сборки в робототехнических комплексах. – Минск: Наука и техника, 1983.

9.      Челищев Б.Е., Боброва И.В., Гонсалес-Сабатер А. Автоматизация проектирования технологии в машиностроении – М.: Машиностроение, 1987.

engineering-science.ru

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

Транскрипт

1

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД

3 MATHEMATICAL MODELING IN CONTINUUM MECHANICS SECOND EDITION Roger Temam Universit e Paris-Sud, Orsay and Indiana University Alain Miranville Universit e de Poitiers

4 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Р. Темам, А. Миранвиль МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД 2-Е ИЗДАНИЕ (ЭЛЕКТРОННОЕ) Перевод 2-го английского издания И. О. Арушаняна под редакцией Г. М. Кобелькова Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2014

5 УДК 519.8(075.8)+531(075.8) ББК 22.25я73 Т32 С е р и я о с н о в а н а в 2009 г. Темам Р. Т32 Математическое моделирование в механике сплошных сред [Электронный ресурс] / Р. Темам, А. Миранвиль ; пер. с англ. 2-е изд. (эл.). М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, с. : ил. (Математическое моделирование). ISBN Курс лекций по механике сплошных сред, прочитанный авторами для математиков-аспирантов первого года обучения. Помимо подробного описания фундаментальных разделов механики сплошных сред, книга содержит результаты, полученные в некоторых смежных дисциплинах, таких как магнитная гидродинамика, горение, геофизическая динамика жидкостей и газов, а также теория линейных и нелинейных волн. Для инженеров, ученых и студентов, специализирующихся в указанных предметных областях. УДК 519.8(075.8)+531(075.8) ББК 22.25я73 По вопросам приобретения обращаться: «БИНОМ. Лаборатория знаний» Телефон: (499) ISBN c Cambridge University Press 2000, 2005 First published 2000 Second edition published 2005 c БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013

6 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода Предисловие О системе обозначений Часть I. Фундаментальные понятия механики сплошных сред Глава 1. Описание движения материальной системы: геометрия и кинематика Деформации Кинематика движения Описание движения системы: производные Эйлера и Лагранжа Поле скоростей твердого тела: спиральные векторные поля Дифференцирование объемного интеграла, зависящего от параметра 25 Упражнения Глава 2. Фундаментальные законы динамики Понятие массы Сохранение массы в лагранжевых переменных Силы Фундаментальный закон динамики и его первое следствие Приложение к системам материальных точек и к твердым телам Галилеевы системы отсчета: фундаментальный закон динамики для негалилеевой системы отсчета Упражнения Глава 3. Тензоры напряжений Коши и Пиолы Кирхгофа: приложения Гипотезы о силах сцепления Тензор напряжений Коши Общие уравнения движения Симметрия тензора напряжений Тензор Пиолы Кирхгофа Упражнения

7 318 Оглавление Глава 4. Реальная и виртуальная мощность Система материальных точек Материальные системы общего вида: скорости, придающие жесткость Виртуальная мощность сил сцепления: общий случай Реальная мощность: теорема о кинетической энергии Упражнения Глава 5. Тензор деформации, тензор скоростей деформации, определяющие соотношения Свойства деформаций Тензор скоростей деформаций Введение в реологию : определяющие соотношения Приложение: замена переменных в поверхностных интегралах Упражнения Глава 6. Уравнения энергии и уравнения ударных волн Тепло и энергия Тепло Ударные волны и соотношения Рэнкина Гюгонио Упражнения Часть II. Физика жидкостей и газов Глава 7. Общие свойства ньютоновской жидкости Общие уравнения механики жидкостей и газов Статика жидкостей Замечание об энергии жидкости Упражнения Глава 8. Течение невязкой жидкости Общие теоремы Плоские безвихревые течения Трансзвуковые течения Линейная акустика Упражнения Глава 9. Вязкие жидкости и термогидравлика Уравнения вязкой несжимаемой жидкости Простые течения вязкой несжимаемой жидкости Термогидравлика Безразмерные уравнения. Подобие Понятия устойчивости и турбулентности Понятие пограничного слоя Упражнения Глава 10. Магнитогидродинамика и инерционное удержание плазмы Уравнения Максвелла и электромагнетизм Магнитогидродинамика Устройство токамак Упражнения

8 Оглавление 319 Глава 11. Горение Уравнения для смесей жидкостей Уравнения химической кинетики Уравнения горения Уравнения Стефана Максвелла Упрощенная двухкомпонентная модель Упражнения Глава 12. Уравнения динамики атмосферы и океана Вводные замечания Уравнения динамики атмосферы Уравнения динамики океана Химия атмосферы и океана Приложение: дифференциальные операторы в сферических координатах Часть III. Механика твердого тела Глава 13. Основные уравнения линейной упругости Еще раз о законе зависимости напряжений от деформации в линейной упругости: коэффициенты упругости материала Краевые задачи в линейной упругости: принцип линеаризации Другие уравнения Предел критериев упругости Упражнения Глава 14. Классические задачи эластостатики Продольные сжатия растяжения цилиндрического стержня Всестороннее сжатие произвольного тела Равновесие сферической емкости, подверженной внутреннему и внешнему давлениям Деформация вертикального цилиндрического тела под действием его веса Простое изгибание цилиндрической балки Скручивание цилиндрических стержней Принцип Сен-Венана Упражнения Глава 15. Энергетические теоремы, двойственность и вариационные постановки Упругая энергия материала Двойственность Энергетические теоремы Вариационные постановки Теорема о виртуальной мощности и вариационные постановки Глава 16. Нелинейные определяющие соотношения и осреднение Нелинейные определяющие соотношения (нелинейная упругость) Нелинейная эластостатика с порогом (модель эластопластики Хенки) Невыпуклые энергетические функции Композитные материалы: задача осреднения Упражнения

9 320 Оглавление Глава 17. Нелинейная упругость и приложения к биомеханике Уравнения нелинейной упругости Краевые условия и краевые задачи Гиперупругие материалы Гиперупругие материалы в биомеханике Часть IV. Введение в волновые явления Глава 18. Линейные волновые уравнения в механике Еще раз об уравнениях линейной акустики и линейной упругости Решение одномерного волнового уравнения Нормальные колебания Решение волнового уравнения Суперпозиция волн, биений и волновых пакетов Упражнения Глава 19. Уравнение солитона: уравнение Кортевега де Фриза Волновые уравнения для воды Упрощенный вид волновых уравнений Уравнение Кортевега де Фриза Солитонные решения уравнения Кортевега де Фриза Упражнения Глава 20. Нелинейное уравнение Шрёдингера Уравнения Максвелла для поляризованной среды Уравнения электрического поля: линейный случай Общий случай Нелинейное уравнение Шрёдингера Солитонные решения нелинейного уравнения Шрёдингера Упражнения Приложение Указания к упражнениям Список литературы Предметный указатель

10 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Вниманию читателя предлагается книга Алена Миранвиля и Роджера Темама «Математическое моделирование в механике сплошных сред». Работы одного изавторов книги, крупного французского математика Роджера Темама, хорошо известны отечественным специалистам по уравнениям в частных производных, механике, теории экстремальных задач по ряду переведенных на русский язык книг (Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981; Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991; Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализи вариационные проблемы. М.: Мир, 1979). Настоящая книга по подбору материала и стилю изложения отличается от перечисленных монографий. Наряду с широтой охватываемого материала следует отметить подробность и последовательность изложения каждой темы. Авторы стремятся аккуратно отследить весь путь от начальных определений до конечного результата. При этом от читателя не требуется знаний, выходящих за рамки классического курса математического анализа. Книга охватывает ряд важных разделов механики сплошной среды, таких как фундаментальные законы динамики, физика жидкостей и газов, механика твердого тела, волновые явления. При этом она ни в коей мере не является учебником по механике. Скорее она отражает взгляды авторов на математические подходы к решению ключевых задач из разных разделов механики сплошной среды. Отдельно следует отметить главы, относящиеся к построению моделей, описывающих динамику океана, а также математические модели биологических процессов. Каждая глава снабжена набором задач с указаниями по их решению, что делает гораздо более эффективным самостоятельное изучение материала для читателей с различным уровнем подготовки. Кроме того, подобный подход позволяет использовать отдельные ее разделы в качестве самостоятельных спецкурсов как для студентов, так и для аспирантов.

11 6 Предисловие редактора перевода Как отмечают сами авторы, книга неоднородна по содержанию и математическому языку. Это объясняется широтой охватываемого материала и сложившимися стандартами в определенных предметных областях. Книга окажется полезной для студентов старших курсов и аспирантов, а также специалистов, интересующихся вопросами применения математики в прикладных науках. Г. М. Кобельков

12 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая книга представляет собой расширенную версию курса лекций по механике сплошных сред, прочитанных авторами математикам-аспирантам первого года обучения. Помимо подробного описания фундаментальных разделов механики сплошных сред, книга содержит результаты, полученные в некоторых смежных дисциплинах, таких как магнитная гидродинамика, горение, геофизическая динамика жидкостей и газов, а также теория линейных и нелинейных волн. Книга рассчитана на широкий круг читателей: математиков (ученых и студентов), специализирующихся в указанных предметных областях, инженеров и исследователей. Материал, рассматриваемый в книге, находится на стыке математики и некоторых важных прикладных разделов науки. Подчеркнем, что это не книга математической направленности: ее математический язык прост, а от читателей требуется знание только основных понятий математического анализа и линейной алгебры. В то же время эта книга не учебник по механике сплошных сред: хотя она и содержит подробное, но сжатое описание ряда разделов механики, в ней не затрагиваются многие результаты, которые носят фундаментальный характер и которые, однако, не так необходимы в приложениях (например, инвариантность по отношению к системам отсчета, присущая некоторым механическим величинам, или же согласованность некоторых определений). Читателя, заинтересованного в этих результатах, мы отсылаем к замечательным книгам по механике, указанным в библиографии к первой части нашей книги. И наконец, в силу ограниченности объема, книга не носит энциклопедического характера, а отдельные ее разделы могут служить темами солидных книг. В целом мы полагаем, что наша книга, являющаяся итогом наших многолетних исследований и основанная на нашем опыте преподавательской работы, окажется весьма полезной для ученых, желающих уменьшить разрыв между математикой и прикладными науками, обычно обусловленный терминологическими барьерами и различиями в методиках проведения научных исследований. Ядро книги составляют фундаментальные разделы механики сплошных сред: описание движения тел, фундаментальный закон динамики, тензоры напряжений Коши и Пиолы Кирхгофа, определяющие соотношения, внутренняя энергия и первый принцип термодинамики, ударные волны и соотношения Рэнкина Гюгонио, введение в механику невязких и вязких ньютоновских

13 8 Предисловие жидкостей, вводное рассмотрение линейной упругости и вариационных принципов, а также введение в нелинейную упругость. Кроме указанных разделов книга содержит достаточно подробные вводные сведения о нескольких важных родственных разделах, которые могут служить темами отдельных книг: магнитная гидродинамика, горение, геофизическая динамика жидкостей и газов, теория колебаний, линейная акустика, а также теория нелинейных волн и солитонов, основанная на уравнениях Кортевег де Фриза и Шрёдингера. Книга может служить основой для годичного курса лекций, ориентированных на старшекурсников или же аспирантов первого года обучения. Некоторые ее части могут быть использованы для односеместрового курса лекций по основам механики сплошных сред или в составе специальных курсов. Второе издание книги расширено указаниями к выполнению упражнений, что полезно для проведения классных занятий, и новой главой по нелинейной упругости, а также несколькими добавлениями и исправлениями, предложенными читателями первого издания. В частности, книга значительно улучшилась в результате учета замечаний рецензентов, в первую очередь замечаний Дж. Данвуда и Дж. Дж. Телега. Авторы выражают также признательность Ф. Сьярле за полезные комментарии. Новая глава по нелинейной упругости основана на его ставшей классической книге. И наконец, мы сердечно благодарны Жаку Ламинье, Эрику Симонне, Дьоке Виросоетизно и Терезе Бунге за существенную помощь в подготовке книги к изданию. Роджер Темам Ален Миранвиль Июнь 2004 г.

14 О СИСТЕМЕ ОБОЗНАЧЕНИЙ Система обозначений, принятая в настоящей книге, неоднородна. Отчасти это сделано намеренно, а отчасти поскольку у нас не было другого выхода. Действительно, разработчик математической модели обычно должен соблюдать или по крайней мере приспосабливаться к обозначениям, общепринятым в конкретной предметной области, и тем самым должен быть приучен к определенной гибкости. Другая причина состоит в том, что в книге рассматриваются различные предметные области, а потому невозможно выбрать систему обозначений, соответствующую «всем стандартам». Кроме того, при выборе обозначений мы преследовали цель упростить процесс их написания от руки, избегая по возможности стрелок над символами, полужирных шрифтов, подчеркиваний или надчеркиваний. В каждой главе книги всегда ясно, что обозначает любой используемый символ в данном контексте. Хотя принятая в книге система обозначений и не выдержана в строгих рамках, тем не менее она содержит многократно повторяющиеся символы. Ниже мы приводим обозначения, использованные в нескольких главах книги. Ω или O (возможно, с индексами): область в R 2 или R 3, x = (x 1,x 2 ) или (x 1,x 2,x 3 ): точка в R 2 через (x, y) или (x, y, z), или R 3 ; обозначается также a =(a 1,a 2 ) или (a 1,a 2,a 3 ): начальное положение в лагранжевых переменных, t: время, u = (u 1,u 2 ) или (u 1,u 2,u 3 ), или v или w: векторы в R 2 или R 3 ; обозначаются также через (u, v) или (u, v, w), AB (или AB для выделения): вектор из A в B, u или U: скорость, u: вектор перемещений,

15 10 О системе обозначений γ: ускорение, m: масса, f,f: силы; обычно f объемные силы и F поверхностные силы, ρ: плотность, g: гравитационная постоянная; используется также в уравнении состояния для жидкостей, T или θ: температура, σ: тензор напряжений Коши (обычно), n: единичный вектор внешней нормали к границе открытого множества Ω или O, n =(n 1,n 2 ) или n =(n 1,n 2,n 3 ). Кроме того, мы используем следующие классические символы и обозначения: δ ij : символ Кронекера, равный 1, если i = j, и 0, если i j, ϕ,i : частная производная ϕ/ x i. Используется правило суммирования по повторяющимся индексам: когда какой-либо индекс (например, j) повторяется в математическом символе или в произведении таких символов, мы добавляем эти выражения для j =1, 2, 3. Следовательно, σ ij,j = 3 j=1 σ ij x j, σ ij n j = 3 σ ij n j. j=1

16 ЧАСТЬ I ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

17 Глава 1 ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ: ГЕОМЕТРИЯ И КИНЕМАТИКА 1.1. ДЕФОРМАЦИИ Цель механики состоит в изучении и описании движения материальных систем. Язык механики весьма близок языку теории множеств в математике, поскольку нас интересуют материальные тела или системы, которые состоят изматериальных точек или частиц вещества. Материальная система заполняет некоторую часть (или подмножество) окружающего пространства (R 3 ), а положение материальной точки задается точкой в R 3 ; некоторая часть материальной системы называется подсистемой. Далее мы в основном будем рассматривать материальные тела, которые занимают некоторую область пространства, понимаемую как связанное открытое множество. Здесь мы не будем останавливаться на механически важном случае тонких тел, которые моделируются поверхностями (например, пластинами или оболочками) или линиями (например, балки или тросы). Моделирование движения таких систем неизбежно влечет за собой формулирование гипотез, которые весьма похожи на обсуждаемые в настоящей книге. Материальная система занимает область Ω 0 в R 3 в некоторый заданный момент времени t 0. После деформации эта система занимает уже другую область Ω 0 в R 3 (представим себе жидкость или теннисный мяч). Материальная точка, начальное положение которой определялось точкой a Ω 0, после трансформации будет находиться в точке x Ω. Таким образом, деформация может быть охарактеризована следующим отображением (см. рис. 1.1): Φ: a Ω 0 x Ω. Рис Отображение Φ

18 1.1. Деформации 13 Предполагая, что количество вещества сохраняется в процессе деформации, мы приходим к следующей естественной гипотезе: Функция Φ является взаимно однозначным отображением из Ω 0 в Ω. Далее будем предполагать, что Φ и обратная к ней функция принадлежат по крайней мере классу C 1. В действительности же мы будем предполагать, что Φ обладает любой требуемой гладкостью. Предположение о регулярности Предположение о регулярности функции Φ носит общий характер: мы предполагаем, что все вводимые нами функции обладают регулярностью, необходимой для выполнения таких операций, как интегрирование по частям, дифференцирование интегралов, зависящих от параметра, и др. Это всегда имеющееся в виду предположение будет ослаблено только в главе 6 при изучении ударных волн, которые соответствуют появлению поверхностей разрывов. В этом случае мы предполагаем, что отображение Φ принадлежит к кусочному классу C 1. Последнее предположение может быть также ослаблено при изучении других явлений, которые мы здесь не рассматриваем, таких как сингулярные вихри в случае жидкостей и газов, дислокации в случае твердых тел или столкновения твердых тел. Пусть grad Φ(a) = Φ(a) матрица с элементами ( Φ i / a j )(a). Ееназывают матрицей Якоби отображения a x и иногда обозначают через Dx/Da. Поскольку функция Φ 1 дифференцируема, якобиан ( Φ) преобразования a x обязательно отличен от нуля. Далее будем предполагать, что якобиан строго положителен; отрицательный знак соответствует нефизическому случаю изменения ориентации, когда, образно говоря, левая перчатка становится правой. Позже мы рассмотрим ту роль, которую играет линейное касательное отображение в точке a по отношению к формуле Тейлора Φ(a) =Φ(a 0 )+ Φ(a 0 ) (a a 0 )+o( a a 0 ). Мы также введем тензор дилатации для изучения деформации «малых» тетраедров. Перемещение Определение 1.1. Отображение u : a x a =Φ(a) a называют перемещением; u(a) это перемещение частицы a. Элементарные деформации Остановимся на описании некоторых типичных элементарных деформаций. а) Жесткие деформации Перемещение называют жестким (в этом случае мы уже не говорим о деформациях), когда расстояние между любыми двумя точками сохраняется: d(a, a )=d(x, x ), a, a Ω 0.

19 14 Глава 1. Описание движения материальной системы Здесь x =Φ(a),x =Φ(a ). Сказанное эквивалентно следующему предположению: Φ этоизометрияизω 0 на Ω, иными словами, область Ω 0 не включена в аффинное подпространство, размерность которого меньше или равна 2: В этом случае имеем Φ это аффинное преобразование (параллельный перенос + вращение). и x = L a + c, c R 3, L L 0 (R 3 ), L 1 = L T, u(a) =(L I)a + c, где L 0 (R 3 ) пространство ортогональных матриц в R 3. б) Линейное сжатие или удлинение Типичным примером удлинения является линейное растяжение эластичного стержня или линейной пружины. Пусть (e 1,e 2,e 3 ) канонический базис в R 3. Равномерное удлинение в направлении e = e 1 определяется соотношениями x 1 = λa 1, x 2 = a 2, x 3 = a 3 при λ > 1. Если0 < λ < 1, то этот случай соответствует всестороннему сжатию линейной пружины или эластичного стержня. Тогда перемещение имеет вид u(a) =[(λ 1)a 1, 0, 0] и λ Φ = I в) Деформация сдвига Рассмотрим простой сдвиг в двух ортогональных направлениях. Например, такие деформации имеют место при разрыве листа бумаги. Сдвиг в направлении e 1, параллельном e 2, имеет вид x 1 = a 1 + ρa 2, x 2 = a 2 + ρa 1, x 3 = a 3, где ρ>0; следовательно, перемещение принимает вид u(a) = ρa 2 ρa 1 0

20 1.2. Кинематика движения 15 и 0 ρ 0 Φ = ρ I Примечание 1.1. Ниже мы увидим, что в некотором смысле общая деформация может быть представлена в виде надлежащей последовательности рассмотренных элементарных деформаций КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ Цель кинематики состоит в изучении движения системы относительно некоторого наблюдателя, называемого системой отсчета. Здесь мы должны ввести два новых понятия. Непрерывный параметр t, соответствующий времени, что подразумевает выбор хронологии или, другими словами, способ измерения времени 1). Система линейных координат, или система отсчета, «связанная» с наблюдателем. В аффинном пространстве эта система определяется ее началом координат и тремя ортонормальными базисными векторами e 1,e 2 и e 3. Определение 1.2. Система отсчета определяется выбором хронологии и системой координат 2). Хронология фиксируется рази навсегда, однако в дальнейшем мы будем рассматривать несколько систем отсчета в зависимости от наших целей. Движение рассматриваемой системы наблюдается в течение временного интервала I R. В некоторый момент времени t I система занимает область Ω t R 3. Движение определяется геометрически семейством деформационных отображений в зависимости от времени t I (см. рис. 1.2). Пусть Φ(t, t 0 ) диффеоморфизм a Ω t0 x =Φ(a, t, t 0 ) Ω t, который отображает положение a вмоментвремениt 0 в положение x вмомент времени t. Сформулируем следующие естественные гипотезы: Φ(t 0,t 0 )=I, Φ(t,t) Φ(t, t 0 )=Φ(t,t 0 ), отображения (t, a) Φ(a, t, t 0 ) принадлежат по крайней мере классу C 1 (за исключением случая ударных волн). 1) С чисто математической точки зрения, например, не выглядит абсурдным заменить t на t 3, однако это заменило бы понятие временного интервала, а момент времени t =0играл бы особую роль, что вовсе не так. 2) Мы больше не будем останавливаться на этих важных понятиях, которые могут привести, в зависимости от интересующей точки зрения, к неклассической механике (например, к механике теории относительности или к квантовой механике).

21 [...]

22 Учебное электронное издание Серия: «Математическое моделирование» Темам Роджер Миранвиль Ален МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД Ведущий редактор М. С. Стригунова Редактор А. С. Попов Художественное оформление: И. Е. Марев Художественный редактор Н. А. Новак Технический редактор Е. В. Денюкова Корректор Е. Н. Клитина Оригинал-макет подготовлен Е. Г. Ивлевой в пакете L A TEX 2ε Подписано Формат /16. Усл. печ. л. 26,00. Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний» , Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499) Минимальные системные требования определяются соответствующими требованиями программы Adobe Reader версии не ниже 10-й для операционных систем Windows, Android, ios, Windows Phone и BlackBerry

docplayer.ru

Наука и Образование: научно-техническое издание: Моделирование механических связей изделия

автор: Божко А. Н.

МГТУ им. Н. Э. Баумана

В классической механике под механическими связями принято понимать ограничения, которые накладываются на координаты и скорости механической системы. Математическим описанием таких связей служат системы равенств и неравенств, связывающие скорости, пространственные координаты элементов системы и время. В теоретических исследованиях по технологии машиностроения, где акценты смещены с динамических характеристик системы на ее статическое состояние, этому понятию дается более узкое толкование. Под механическими связями понимают совокупность соединений и сопряжений деталей, которые доставляют машине или механическому прибору геометрическую и функциональную тождественность.

Геометрическая тождественность – это пространственная взаимосвязь деталей, задаваемая конструкторской документацией и достигаемая взаимной координацией деталей. В данной работе рассматривается только это свойство механических систем. Процессы координации деталей и сборочных единиц при обработке, сборке и транспортировке исследуются в разделе технологии машиностроения, который называется теорией базирования [7].

Ограничимся обсуждением механических систем (машин, приборов, аппаратов, установок и пр.), элементы которых могут рассматриваться как твердые тела. Из теоретической механики известно, что любое свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Оно может перемещаться параллельно трех координатных осей и вращаться вокруг них. Для того чтобы зафиксировать твердое тело, на него необходимо наложить шесть геометрических связей. В технологии машиностроения эти связи называются опорными точками. Для размещения опорных точек требуется выбрать три поверхности детали или заменяющих их совокупности конструктивных элементов (пересечение поверхностей, оси или плоскости симметрии, технологическая разметка и пр.). Поверхность или иной конструктивный элемент, используемый для размещения опорных точек в процессе базирования, называется базой. В технологических исследованиях предложена развитая классификация баз [6], в данной работе будем рассматривать только базы, которые используются для координации деталей и сборочных единиц в составе изделия. Такие базы называются конструкторскими. Главной и высшей таксономией конструкторских баз является их разделение на основные и вспомогательные. Основные принадлежат элементу механической системы (детали или сборочной единице) и служат для определения его положения в составе изделия. Вспомогательные базы – это базы, предназначенные для определения положения присоединяемых элементов (деталей и сборочных единиц).

Таким образом, конструкторские базы представляют собой конструктивно реализованные координатные системы, предназначенные для ориентации и координации деталей в процессе сборки изделия. С точки зрения взаимной скоординированности составляющих элементов, изделие в целом можно рассматривать как совокупность деталей, связанных отношением базирования.

Отношение базирования влияет на важнейшие конструктивные и технологические свойства изделий. Например, от него зависят допустимые варианты декомпозиции на сборочные единицы. Это отношение определяет многие проектные решения, принимаемые на этапе разработки технологии сборки и ремонта машины или механического прибора. В многочисленных исследованиях отечественных и зарубежных авторов [8, 9] отношение базирования рассматривалось как бинарное, а для его описания использовался аппарат теории графов и математической логики. Подобная формализация оказалась недостаточной, поскольку, во многих случаях, это отношение имеет переменную местность. В данной работе предлагается новый способ описания базирования при помощи так называемых гиперсетей.

Обозначим через  множество деталей изделия, а через B – отношение базирования, заданное на этом множестве. Пусть элементы подмножества являются носителями вспомогательных конструкторских баз для некоторого элемента . Запишем это утверждение в виде . Это означает, что положение собственной системы координат  задается в системе координат (СК), внешней относительно , и элементы этой СК принадлежат . Так как положение каждой детали в пределах изделий определено, то  существует, возможно, не единственное подмножество такое, что . Каждая связана с по крайней мере одной координатой, поэтому максимальная длина любого вектора не превосходит 7. Количество деталей в , распределение координатных связей по элементам и общее число опорных точек детали зависят от конструкции изделия, принятых способов базирования и назначения самой детали .

Все векторы вида  обладают свойством перестановочности. Это значит, что если некоторый вектор  принадлежит B, то вектор, образованный из  перестановкой его элементов , также принадлежит B для любой подстановки  порядка k+1, действующей на множестве . Это следует из того, что элементы  образуют геометрически определенную группировку деталей, поскольку положение любой  в системе координат, образованной деталями , также является определенным.

Алгебраически и комбинаторные свойства объектов, для которых понятие системы координат является осмысленным, изучаются в теории матроидов. Свойство, аналогичное перестановочности векторов , постулируется в теории матроидов как присущее любым координатизуемым системам и называется аксиомой замены Штейница [1]. Из перестановочности векторов  следует один очень важный для технологии сборки вывод – разделение баз на основные и вспомогательные не является жестким и однозначным, оно зависит от принятой последовательности установки деталей. Поскольку порядок перечисления элементов не имеет значения, то будем записывать их в нотации множеств  и называть B-множествами.

Взаимная скоординированность элементов B-множеств достигается реализацией механических связей, поэтому необходимо предложить математическую модель, которая описывает соединения и сопряжения, существенные для отношения базирования. В [2] показано, что такой моделью может быть представление связей в виде гиперсети.

Гиперсетью называется вектор вида , где

 — множество вершин;

 — множество ветвей;

— множество ребер;

P — отображения вида , ставящее в соответствие каждому элементу  множество его вершин . Тем самым P определяет гиперграф  на множестве вершин X;

F — отображение вида , сопоставляющее каждому элементу  множество  ветвей, причем семейство подмножеств  содержит только связные части гиперграфа PS. Отображение F определяет гиперграф ;

W — отображение вида, сопоставляющее каждому элементу  подмножество  его вершин, где  — множество вершин в PS, инцидентных ветвям . Тем самым отображение W определяет гиперграф . Гиперграф PS называется первичной сетью гиперсети S, а гиперграф WS – ее вторичной сетью.

Изделию X сопоставим гиперсеть , в которой:

вершины из  представляют детали;

множество ветвей  описывает механические связи, наложенные на детали;

каждое ребро  соответствует B-множеству деталей.

Отображение  сопоставляет каждой ветви пару деталей, между которыми существует в изделии X механическая связь (соединение или сопряжение), . Таким образом, первичная сеть  представляет собой граф механических связей. Вторичная сеть  гиперсети S связывает детали изделия таким образом, что отображение W каждому ребру  ставит в соответствие B-множество деталей. Поскольку в общем случае , то вторичная сеть гиперсети S представляет собой гиперграф. Так как взаимная скоординированность деталей достигается наложением механических связей, то образами произвольных B-множеств являются связные подграфы первичной сети PS, т.е. условие связности элементов, составляющих семейство , выполняется.

Рис. 1. Чертеж конструкции редуктора

На рис. 1 приведен чертеж конструкции редуктора, а на рис.2 изображена сопоставленная этому изделию гиперсеть. Напомним, что по правилам построения гиперсети деталям конструкции соответствуют вершины. На приведенных рисунках они обозначены одинаковыми номерами. Первичную сеть PS образуют все ребра, которые на рис.2 изображены прямыми линиями. Гиперребра вторичной сети изображены сплошными замкнутыми линиями (например, {11, 16, 21}) и жирными линиями. Таким образом, последние обозначают связи, которые входят как в первичную, так и во вторичную сети. Это дублирование необходимо, поскольку точное изображение всех связей чрезмерно усложнит рисунок и затруднит его восприятие.

Рис. 2. Гиперсеть редуктора

Первичная сеть PS по сути дела представляет собой граф механических связей, свойства которого подробно обсуждались в многочисленных исследованиях по теории проектирования [3,7]. Эта структурная модель не дает точного описания отношения базирования B, поскольку она не способна выделить многоместные группировки детали, являющиеся B-множествами. Кроме того, некоторые механические связи не используются для достижения определенности базирования, а выполняют иные функции (устойчивость, кинематические связи и пр.). Адекватной структурной моделью отношения базирования является вторичная сеть WS.

Не рассматривая многочисленные конструктивные и технологические закономерности принятия решений при выборе схем базирования, будем считать, что такой выбор осуществлен, а его результаты зафиксированы в структуре вторичной сети WS.

Приведем несколько определений из теории гиперграфов [4], которые будут использованы для математического описания таких важных технологических категорий, как последовательность сборки и схема технологического членения (схема разузлования). В этих определениях вторичная сеть рассматривается как просто пример гиперграфа, лишенного фиксированного технологического содержания.

Определение 1:

Подграф  гиперграфа  называется полновершинным суграфом, если . Иными словами,  получается из WS удалением ребер, входящих . Такое удаление называется слабым. Подграф  называется усеченным суграфом гиперграфа , если , где . Удаление ребер вместе с инцидентными вершинами называется сильным.

Определение 2:

Стягиванием ребра  в гиперграфе  называется операция, состоящая из слабого удаления этого ребра и, в случае , последующей замены всех вершин  новой вершиной, инцидентной каждому ребру из , которые в WS были инцидентны, по крайней мере, одной вершине множества . Более формально: если  — гиперграф, полученный из WS стягиванием ребра r, то

Стягивание ребра может повлечь за собой частичное или полное отождествление вершин во множествах  для других ребер  (но сами эти ребра не удаляются). Подобные отождествления допускаются лишь как индуцированные стягиванием ребра r, а не в качестве самостоятельных операций.

Определение 3:

Стягивание ребра будем называть нормальным, если степень  стягиваемого ребра  в гиперграфе  равна 2.

Определение 4:

Все вершины исходного гиперграфа  назовем s-вершинами. Кроме того, вершина , образованная отождествлением двух s-вершин, соединенных ребром кратности 2, называется s-вершиной.

В процессе сборки изделия происходит реализация механических связей, соединяющих устанавливаемую деталь (сборочную единицу) с «собранным фрагментом изделия» и доставляющих данному элементу определенность геометрического положения относительно системы координат этого фрагмента. Абстрагируясь от конкретных технологических приемов получения соединений и сопряжений, представим реализацию каждой механической связи в виде слабого удаления соответствующего ребра вторичной сети WS. Во всех дальнейших операциях установленные элементы выступают как некоторая «целостность». Это позволяет представить их в виде некоторой s-вершины сети WS, образованной отождествлением всех вершин, инцидентным стянутым гиперребрам.

Итак, процесс сборки изделия  можно представить в виде последовательности стягиваний

 вторичной сети , причем для  должны выполняться условия:

1.      ;

2.       представляет собой одновершинный гиперграф, описывающий изделие в сборе;

3.      Каждое стягивание ребра является нормальным;

4.      Для всех  выполняется соотношение .

Рассмотрим более подробно адекватность условия 3, поскольку обоснованность условий 1 и 3 является очевидной, а 4 с необходимостью следует из изложенного материала. Для установки некоторой детали  необходимо, чтобы все детали из какой-либо совокупности , образующей с  B-множество, были скоординированы относительно друг друга. В этом случае они образуют внешнюю систему координат, определяющую положение . По определению гиперсети В-множествам деталей соответствуют ребра вторичной сети WS, а скоординированность деталей из  означает, что все механические связи, наложенные на элементы из , реализованы. Иными словами, осуществлены операции слабого удаления ребер, описывающих эти связи, и отождествление вершин. Поэтому совокупности  соответствует одна вершина в некотором . Таким образом, ребро r, соединяющее в   и  имеет степень 2, а установка  на  описывается нормальным стягиванием.

На рис. 3 показана вторичная сеть WS редуктора (см. рис.1), а на рис. 4 представлен фрагмент последовательности P(WS) нормальных стягиваний этой гиперсети.

Рис. 3. Вторичная сеть WS редуктора

Рис. 4. Фрагмент последовательности нормальных стягиваний вторичной сети редуктора

На рис. 4 черными квадратами изображены составные вершины. Это вершины, состоящие из нескольких простых вершин, которые продуцирует процедура стягиваний вторичной сети. Так, гиперграф  получается из вторичной сети  нормальным стягиванием по ребрам {9,10}, {9,19}, {11,12} и {11,12,15}. Нормальные стягивания ребер гиперграфа  {2,5}, {2,4}, {4,6}, {6,7}, {8,{9,10,19}}, {{9,10,19},20}, {18,20}, {9,10,19} и {17,20} дает гиперграф  и т.д. до реализации всех связей и генерации одновершинного гиперграфа.

Это первая статья цикла работ, посвященного моделированию механических связей при помощи гиперграфов. Автор надеется опубликовать продолжение исследований в следующих номерах данного электронного издания.

 

Список литературы

 

1.      Айгнер М. Комбинаторная теория. – М.: Мир, 1982. – 558 с.

2.      Божко А.Н. Выбор рациональной последовательности сборки изделия// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» – 2010. – ╧7

3.      Божко А. Н., Бетин Е. А. Анализ стягиваемости гиперграфов// Информационные технологии. – 2005. – ╧5 – с. 6-12.

4.      Зыков А.А. Гиперграфы// УМН. – 1974. – т. XXIX, вып. 6. – с. 89-153.

5.      Исследования по прикладной теории графов/ Под ред. А.С. Алексеева. – Новосибирск: Наука, 1986. – 169с.

6.      Маталин А.А. Технология машиностроения. – М.: Машиностроение, 1985. – 512 с.

7.      Сборка и монтаж изделий машиностроения: справочник в 2-х томах / Под ред. В.С. Корсакова, В.К. Замятина. – М.: Машиностроение, 1983. – 480+360 с.

8.      Своятыцкий Д.А. Моделирование процессов сборки в робототехнических комплексах. – Минск: Наука и техника, 1983.

9.      Челищев Б.Е., Боброва И.В., Гонсалес-Сабатер А. Автоматизация проектирования технологии в машиностроении – М.: Машиностроение, 1987.

www.technomag.bmstu.ru

Журнал "Наноструктуры. Математическая физика и моделирование"

Новый российский наножурнал

Журнал «Наноструктуры. Математическая физика и моделирование» выходит с 2009 года и является рецензируемым научным изданием. Основная цель: представление новых теоретических и вычислительных методов моделирования наноструктур и мягкой материи, общих подходов в исследовании мезосистем, а также ключевых экспериментальных результатов в данной области и связанных с этим проблем математической физики

.

Журнал публикует научные обзоры, исследовательские статьи и краткие научные сообщения, а также избранные аналитические и информационно-образовательные материалы, тексты докладов и циклов лекций, прочитанных в университетах, научных центрах, на школах-семинарах, конференциях. В редколлегию журнала входят академики В.П.Маслов(главный редактор), Р.А.Сурис, В.Е.Фортов, А.Р.Хохлов, члены-корреспонденты И.В.Волович, В.В.Гусаров, А.Ю.Морозов, С.А.Никитов, А.В.Чаплик и еще целый ряд ведущих российских специалистов.

Электронная версия журнала размещается на сайте журнала.

От редколлегии НМФМ

Наноструктуры – это атомные конфигурации, устойчивые геометрически или, хотя бы, топологически, и минимальные по характерным масштабам происходящих в них процессов. Они находятся на стыке между системами корпускулярного и волнового типов, между детерминированным и случайным. По шкале размеров сразу ниже них расположены структуры атомарного и субатомарного масштаба, демонстрирующие в полной мере квантовую неопределенность. Таким образом, наноструктуры – это та минимальная платформа, на которой еще могут существовать пространственно определенные объекты и устройства, одновременно с присутствием в них значительных квантовых возбуждений. Основные особенности и эффекты в этой физической области обязаны своим возникновением именно взаимному влиянию классической и квантовой природы наноструктур.

• С позиций квантовой химии, наноструктуры – это критический рубеж для преобразования химической энергии в механическую, для перестройки атомных конфигураций, после которой электронные оболочки начинают проявлять нестандартные физико-химические и биологические свойства, важные для создания новых, уникальных материалов. В пересчете на шкалу энергий в этом же диапазоне лежит граница физики мягкой материи. Здесь вступают в игру высокоселективные, стереоспецифические молекулярные взаимодействия, работают механизмы самосборки и саморазборки надмолекулярных структур, молекулярные образования впервые оказываются «способными к жизни», превращаясь в биофизические и биологические объекты и т.д. Теория подобных явлений, их математическое и компьютерное моделирование – это центральное звено в разработке перспективных технологий нано-конструирования.

В сильно неоднородных наноструктурах диссипация энергии, локализация состояний, перенос возбуждений, взаимодействие с излучением и другие процессы носят необычную, промежуточную (мезо) природу, располагаясь где-то между единичным и статистическим. Причем, они далеки как от первого, так и от второго, поскольку, с одной стороны, задействуют большое число степеней свободы, а с другой, – недостаточно однородны, чтобы допускать статистическое осреднение. Для описания таких промежуточных процессов очень важным является развитие квантовой мезомеханики, эффективно применимой в пограничной области наномасштабов. Кроме того, поскольку речь идет о геометрически или топологически детерминированных системах на границе между зонами ответственности классической и квантовой теории, можно рассчитывать, что существенные продвижения в моделировании наноструктур будут сопряжены с прогрессом квантовой геометрии и топологии, и в целом – квантовой математики.

• Благодаря достижениям техники наблюдения и манипулирования на субмолекулярном уровне, и по мере изучения все более сложных наноструктур стало понятно, что здесь естествознание столкнулось с особенным, физически выделенным классом явлений, который открывает интереснейшие научные перспективы и самые неожиданные возможности для приложений в индустрии. Однако, революция в экспериментальной базе высветила и трудные проблемы. Прорыв в их понимании назрел, и он должен произойти в самом ближайшем будущем, поскольку интерес в мире к данной области растет лавинообразно, а взлет нанотехнологий стимулирует ускоренную разработку новых подходов в моделировании.

Уже ясно, что для анализа всего многообразия наноявлений, причем, анализа, нацеленного на проектирование искусственных объектов с заданными и управляемыми свойствами, придется задействовать гигантский теоретический арсенал, а также максимально привлечь возможности вычислительной техники. Существенным и необходимым условием быстрого прогресса здесь служит наличие активной информационной среды, обеспечивающей постоянное, системное и профессиональное ознакомление специалистов с достижениями как в близких им, так и в весьма далеких областях, связанных с нано-исследованиями.

• Новый научный журнал «Наноструктуры. Математическая физика и моделирование» имеет своей целью помочь раздвинуть обычные рамки узко-специализированных публикаций, затронуть как можно более широкий спектр методов, используемых при изучении мезо- и нано-масштабных процессов, структур и устройств, при управлении нанообъектами, при интеграции наноэффектов и наноприборов в функциональные системы больших размеров. Предпочтение будет отдаваться статьям, направленным на нерешенные задачи и базовые проблемы, или на глубокий, возможно, дискуссионный анализ, интересный обзорный, учебно-образовательный или исторический материал. Пожеланием к авторам является отказ от замкнутого, цехового стиля в пользу открытой формы изложения, дружественной разным разделам естествознания и, по возможности, доступной начинающим исследователям.

Редакционная коллегия обращается к заинтересованным специалистам с призывом поддержать данный научно-информационный проект и направлять в журнал НМФМ обзоры и аналитические статьи, которые помогут очертить круг основных мировых достижений, сформулировать проблемы, наметить перспективные подходы и принципиальные идеи в исследовании нанообъектов, нанопроцессов и мягкой материи.

Желаем авторам и читателям российского журнала «Наноструктуры. Математическая физика и моделирование» больших творческих успехов!

Карасев М.В.

http://www.nanometer.ru/…_157805.html

.

Содержание последнего выпуска журнала (доступна полная версия статей)

Наноструктуры. Математическая физика и моделирование Сентябрь 2009 года

1. От редколлегии НМФМ
2. В.В. Ивановская, А.Л. Ивановский — «О некоторых направлениях компьютерного материаловедения неорганических наноструктур»
3. А.М. Камчатнов — «Генерация дисперсионных ударных волн в бозе эйнштейновском конденсате»
4. Л.В. Луцев — «Спинволновая спектроскопия магнитных наноструктур»
5. Д.В. Хомицкий — «Немагнитная спинтроника: моделирование спиновых текстур в наноструктурах со спин-орбитальным взаимодействием»
6. E.F. Sheka and L.A. Chernozatonskii — «Odd-electrons approach to covalent chemistry and magnetism of single-wall carbon nanotubes and graphene»
7. Информация и правила для авторов.

Сайт журнала

www.nanonewsnet.ru

Компьютерное моделирование в задачах строительной механики

В учебном пособии приведены теоретические и практические основы компьютерного моделирования применительно к задачам расчета строительных конструкций, представлены особенности решений нелинейных задач, описан инструментарий программного комплекса ЛИРА-САПР. На примерах рассмотрены вопросы составления расчетных схем для решения задач сопротивления материалов и строительной механике. В приложениях приведены возможные варианты учебных программ для изучения дисциплин «Строительная механика» и «Компьютерное моделирование и автоматизированные расчеты на прочность», а также варианты заданий для лабораторных и расчетно-графических работ по строительной механике. Книга в первую очередь предназначена для студентов, обучающихся по направлению»Строительство» и по специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений», а также для преподавателей дисциплин»Сопротивление материалов», «строительная механика», «Теория упругости», «Компьютерные технологии и системы автоматизированного проектирования. Книга также может быть полезна инженерам, Использующим в своей проектной практике компьютерные технологии, аспирантам, исследователям, изучающим работу различных типов конструкций, разработчикам программных средств. Вместе с учебным пособием поставляется диск, на котором представлена полнофункциональная свободно распространяемая некоммерческая версия программного комплекса ЛИРА-САПР 2013 R5, которая может быть использована в учебном процессе и при решении исследовательских задач, также записаны все примеры, описанные в пособии, решенные в ПК ЛИРА-САПР и в MathCAD. Содержимое диска 1.Полнофункциональная свободно распространяемая некоммерческая версия программного комплекса ЛИРА-САПР 2013 R5, которая может быть использована в учебном процессе и при решении исследовательских задач; 2. Примеры задач строительной механики, решенные в ПК ЛИРА-САПР; 3. Примеры задач строительной механики, решенные в MathCAD.

iasv.ru

---

Смотрите также

• 
  Журнал мир техники кино
• 
  Журнал мир севера сайт
• 
  Журнал качели официальный сайт
• 
  Журнал искра 20 века
• 
  Журнал защита металлов архив
• 
  Журнал графика дежурств сторожей
• 
  Журнал высшая школа сегодня
• 
  Живой журнал топ 10
• 
  Живица журнал читать онлайн
• 
  Душеполезное чтение журнал архив
• 
  Домашний очаг журнал вакансии